Efficacia Vaccinale ISS¶

Efficacia vaccinale dall'ultimo aggiornameto ISS

Max Pierini

Per dettagli sul metodo utilizzato dall'Istituto Superiore di Sanità per la stima dell'efficacia vaccinale, vedere GLM Poisson.

I dati sono tratti dall'ultimo aggiornamento disponibile all'indirizzo EpiCentro: Ultimi Aggiornamenti

OK report: 18-maggio-2022

Metodo¶

Gli aggiornamenti ISS fornisco media e intervalli di confidenza al 95% dell'efficacia vaccinale stimata.

Per ottenere una distribuzione Beta dell'efficacia da questi valori non possiamo utilizzare direttamente gli intervalli di confidenza. Si può però sfruttare l'equivalenza asintotica di una distribuzione Beta ad una distribuzione Normale per $\alpha$ e $\beta$ "sufficientemente grandi" ovvero

\begin{equation} \tag{1} \mathbf{Beta}(\alpha, \beta) \sim_{(\alpha, \beta) \rightarrow (\infty, \infty)} \mathbf{Norm}(\mu, \sigma) \end{equation}

Dato quindi che

\begin{equation} \tag{2} \int_{\mu-2\sigma}^{\mu+2\sigma} \mathbf{Norm}(\mu, \sigma) \approx 0.95 \end{equation}

possiamo approssimare la deviazione standard della distribuzione Beta come

\begin{equation} \label{sigma} \tag{3} \sigma = \frac{1}{2} \frac{|E_{lo} - E_{up}|}{2} \end{equation}

dove $E_{lo}$ e $E_{up}$ sono gli estremi dell'intervallo di confidenza dell'efficacia al 95%.

Sappiamo che la media di una distribuzione Beta è pari a

\begin{equation} \tag{4} \mu = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \end{equation}

da cui possiamo facilmente ricavare $\beta$ in funzione di $\alpha$ e $\mu$

\begin{equation} \label{beta} \tag{5} \beta = \frac{\alpha(1-\mu)}{\mu} \end{equation}

Sappiamo che la varianza di una distribuzione Beta è pari a

\begin{equation} \tag{6} \sigma^2 = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} \end{equation}

da cui, sostituendo il valore di $\beta$ della (\ref{beta}) e con semplici passaggi algebrici, otteniamo

\begin{equation} \tag{7} \sigma^2 = \frac{\mu^2(1-\mu)}{\alpha+\mu} \end{equation}

e possiamo così ricavare $\alpha$ in funzione di $\mu$ e $\sigma$

\begin{equation} \tag{8} \alpha = \frac{\mu^2(1-\mu)}{\sigma^2} - \mu \end{equation}

e, infine, $\beta$ in funzione di $\alpha$ e $\mu$ dalla (\ref{beta}).

La distribuzione Beta dell'efficacia $E$ sarà pertanto

\begin{equation} \tag{9} E \sim \mathbf{Beta}\left( \alpha= \frac{\mu^2(1-\mu)}{\sigma^2} - \mu , \beta = \frac{\alpha(1-\mu)}{\mu} \right) \end{equation}

dove $\mu$ è la media e $\sigma$ è la deviazione standard, approssimata dalla (\ref{sigma}) con gli estremi dell'intervallo di confidenza al 95%, dei valori di efficacia vaccinale stimata forniti nell'aggiornamento ISS.

	Fascia	Vaccinati con ciclo completo entro 90 giorni	Vaccinati con ciclo completo da 91 - 120 giorni	Vaccinati con ciclo completo da oltre 120 giorni	Vaccinati con ciclo completo + dose aggiuntiva/booster	Evento
6	12-39	41,9 [41,6-42,1]	33,4 [33,1-33,6]	48,2 [48,0-48,3]	52,3 [52,2-52,5]	Diagnosi
7	40-59	43,8 [43,5-44,1]	36,8 [36,4-37,1]	40,7 [40,5-40,9]	55,3 [55,2-55,5]	Diagnosi
9	60-79	60,4 [59,9-60,8]	49,4 [48,7-50,0]	42,3 [42,0-42,7]	67,8 [67,6-67,9]	Diagnosi
11	80+	68,5 [67,7-69,3]	59,6 [58,1-61,0]	72,1 [71,7-72,4]	75,0 [74,8-75,3]	Diagnosi
12	Totale	44,0 [43,8-44,1]	33,5 [33,3-33,7]	45,9 [45,8-46,0]	57,6 [57,5-57,7]	Diagnosi
13	12-39	56,1 [53,3-58,8]	65,3 [62,8-67,7]	77,9 [76,7-79,0]	82,2 [81,3-83,1]	Severa
14	40-59	63,2 [60,4-65,8]	64,6 [61,4-67,5]	66,6 [65,0-68,1]	79,6 [78,7-80,4]	Severa
16	60-79	75,8 [74,2-77,3]	71,2 [68,7-73,5]	64,9 [63,8-65,9]	88,2 [87,9-88,5]	Severa
18	80+	82,9 [81,7-84,1]	78,3 [76,0-80,4]	79,9 [79,3-80,5]	91,8 [91,6-92,0]	Severa
19	Totale	70,8 [69,9-71,8]	69,6 [68,3-70,8]	71,5 [71,0-72,0]	87,8 [87,6-88,0]	Severa